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1 부터 9 까지의 수를 하나 씩만 써서 위와 같은 식을 만드려고 한다.
2 와 4는 이미 사용한 상태다.
위 식에 사용되지 않는 수로 만들 수 있는 세자리 수 중 제일 작은 수는 얼마인가?

초등학교 1, 2 학년이 이 문제를 풀 수 있다면 정말 놀라운일이 아닐 수 없다고 생각한다만
실제로 가능하다니 뭐라 할 말이 없다.
제대로 개념 파악을 했다라고 밖에는..

초등학교 저학년이 이해할 수 있는 풀이법이 있을것인가에 초점을 맞춰 생각해봤다.

1. 등호(=)를 기준으로 한 이동

단순화를 통해 등호의 좌우변 이동을 생각해 본다.

1 + 2 = 3 이 있을 때

3 = 1 + 2 와 같이 좌우변 바꾸기는 이해할 수 있을 것이다.

1을 좌로 넘기면 부호가 바뀌는 것 또한 조금 생각해 보면 이해 할 수 있을 것이다.

3 - 1 = 2

따라서 등호를 넘어가면 부호가 바뀐다는 것을 어렵지 않게 사전습득 또는 문제풀이시 생각할 수 있다.


2. 단순화를 통한 식의 정렬

문제의 식 좌우변을 바꾸고 3 = 1 + 2 로 단순화해서 생각해 본다.

24 = ㅁㅁ + ㅁ - ㅁ   ->    24 = ㅁㅁ + (ㅁ - ㅁ)

(ㅁ - ㅁ) 을 "묶음1"로 대체해 보면

24 = ㅁㅁ + 묶음1

3 - 1 = 2 형태로 표현하면

24 - 묶음1 = ㅁㅁ 

가 된다.


3. 두 자리 수에서 한자리 수를 더하거나 뺄 경우 십자리의 변화 범위

가장 큰 한자리 수는 9 이고, 가장 작은 한자리수는 1 이다.

2X 에서 9를 더하거나 뺄경우 변화하는 범위는 10을 넘지 않는다.

최저 20 - 9 에서 최고 29 + 9, 즉 11 ~ 38 로 십자리 숫자는 원래의  십자리 숫자에서 +- 1 이상은 변화하지 않는다.

이는 십진수 덧셈 뺄셈에 대해 고민해 봤다면 어렵지 않게 얻을 수 있는 경험?이다.

아무튼, 식  24 - 묶음1 = ㅁㅁ  에서 ㅁㅁ 의 십자리 수는 1, 2, 3 중에 하나다.

그리고 숫자 2는 이미 사용되었으므로 ㅁㅁ 의 십자리 수는 1, 3 둘 중 하나가 된다.

( 여기서, 그리고 잠시 후에, 음수의 개념이 들어가는데 뺄셈과 음수의 의미를 이해하고 있어야 한다.
 이 개념없이 풀 수는 없을까 고민을 해 봤는데..  현재로서는 모르겠다.)



4. 묶음1의 변화 범위

그렇다면 식에서 묶음1의 값은 얼마부터 얼마까지 변할수 있을까?

묶음1은 (ㅁ - ㅁ) 이다.  

각 1자리 숫자를 최소 최대 범위로 생각해 본다.

각각 가질수 있는 수가 1 ~ 9 이니, 최소 (1 - 9) 부터 (9 - 1) 까지가 된다.

즉, -8 부터 8 까지의 값을 갖는다.

24 - ( -8 ~ 8) = ㅁㅁ



5. 우변 ㅁㅁ 의 범위

24에 -8 부터 8을 더해서 나올 수 있는 값은 16 에서 부터 32 까지다.

16, 17, 18, 19, 20, 21, ..., 30, 31, 32  가 가능하다.

여기서 불가능한 것을 따져보자.

우선, 숫자 2가 들어가는 것은 이미 24에 사용되었으므로 제외된다.

즉, 20대 값은 전부 제외다.  그리고 32도 제외된다.

또한 숫자 0은 대상이 아니므로 30도 제외된다.

남는 가능한 값은 16, 17, 18, 19, 31  다섯개가 된다.


6. 우변 ㅁㅁ가 31인 경우

제외 할 수 있는 조건이 더 있는지 알아보기 위해 우변이 31인 경우를 가정해서 따져보자.

  24 - 묶음1 = 31 

(
작은수(24)에서 빼기 했는데 큰수(31)가 나와야 한다. 

음수를 빼야 하는건데

이해하기 위해서는  - 묶음1 = 31 - 24  과 같이 식을 바꾸고
                            - 묶음1 =   7
                              묶음1  = -7
이다.

원래의 식에 넣어 보면 24 - (-7) = 31  ->   24 + 7 = 31

이 결과를 봤을때 이해하기 쉽도록 문제의 식을 바꾸면 다음과 같이..
)

식을 24 + 묶음1 = ㅁㅁ 으로 바꿔서

우변을 31로 가정하면

       24 + 묶음1 = 31

에서

묶음1을 생각 해보자.

묶음1 = 31 - 24 => 7 이 되야 한다.

묶음1은 (ㅁ - ㅁ) 이다.

큰수 빼기 작은수가 7 이 나오려면, 큰수는 7보다 커야한다. 9, 8이 가능하다.

묶음1 이  7 이 되는 경우는 (9 - 2), (8 - 1) 두 가지이다.

  (9-2)는 2가 들어가므로 탈락이다. 

  (8-1)도 탈락이다. 우변의 31 에 사용된 1 이 포함 되었다.

따라서 우변은 31이 아니다.

그러면 우변에 가능한 대상은 1X 만 남는다.   즉,  식은

 24 + 묶음1 = 1

로 고정된다.


7. 우변 ㅁㅁ가 16 인 경우

원래의 문제식에서

24 - 묶음1 = 16

여기 식에서 묶음1은 8이다.

큰수 빼기 작은수 가 8이 되려면, 큰수는 8보다 커야 하므로, 묶음1은 (9-1)이 된다.

우변에 1이 들어가는게 확정되었으므로 (9-1)은 탈락이다.  우변이 16 이 될 수 없다.



앞서 묶음1을 결정하는데서도 그렇고 지금에서도 봤듯이

묶음1이 7 보다 크거나 같으면 (7, 8)

필연적으로 1 이나 2 가  뺄값으로 사용된다.

따라서 묶음1 이 7 보다 크거나 같으면 안된다.  (7, 8 불가)



8. 보다 정교해진 묶음1의 범위

우변 ㅁㅁ의 값으로 가능한 남은 값은 17, 18, 19 이다.

24 - 묶음1 = 17 ~ 19  이므로 묶음1의 가능한 값은 7 ~ 5 이다.

17 일 때  7
18 일 때  6
19 일 때  5

우변이 31인 경우, 16인 경우에서 봤듯이 묶음1이  7인 경우는 탈락이다. 따라서 우변 17도 탈락.

나머지는 우변 18 과 19. 묶음1의 값은 6, 5 가 가능하다.

묶음16이 되는 조합은 다음과 같다.
-- 우변 18 --
(9 - 3)
(8 - 2)  : 8, 2 X 탈락
(7 - 1)  : 1 X 탈락

묶음15가 되는 조합은 다음과 같다.
-- 우변 19 --
(9 - 4)  : 9, 4. 이미 24에 사용되어 탈락
(8 - 3) 
(7 - 2) : 2. 탈락
(6 - 1) : 1. 탈락

가능한 식의 조합은
1.  24 - ( 9 - 3) = 18
2.  24 - ( 8 - 3) = 19
이다.

어느것이든 사용되는 숫자는 1, 2, 3, 4, 8, 9 이다.
사용되지 않은 숫자는 5, 6, 7 이다.

사용되지 않은 숫자로 만든 최소 세자리수는 567.
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